L'hotel extraordinari

Un hotel disposa de 5000 habitacions i de 5000 cambrers. Els cambrers tenen el següent costum, més aviat ximple: un primer cambrer obre totes les portes de les habitacions, un segon cambrer tanca totes les portes de les habitacions parells, un tercer cambrer canvia de posició totes les portes múltiples de 3 (les tancades les obre i viceversa), un quart cambrer canvia de posició totes les portes múltiples de 4, un cinquè cambrer canvia de posició totes les portes múltiples de 5, etc. Així fins que ha passat l'últim cambrer.

La pregunta és:

Quines portes quedaran obertes?

2 comentaris:

Anònim ha dit...

Jo díria que son el nombres quadrats,

n^2 sent n>0.
Així tindríem 1, 4, 9, 16, ...., 4900.

L'explicació: Les portes que es queden obertes es perque per elles han passat els cambrers un nombre imparell de vegades. I de tots els nombres que comlpeixen que tinguin divisors imparells, aquests son els nombres quadrats.

Un problema entretingut.

CER ha dit...

27 d'octubre de 2007

La solució és correcta. Felicitats a ramtia.

Podem posar el mateix exemple amb només 20 portes.

Nom de la porta) Nombre dels treballadors que hi passen separats per comes

1) 1
2) 1, 2
3) 1, 3
4) 1, 2, 4
5) 1, 5
6) 1, 2, 3, 6
7) 1, 7
8) 1, 2, 4, 8
9) 1, 3, 9
10) 1, 2, 5, 10
11) 1, 11
12) 1, 2, 3, 4, 6, 12
13) 1, 13
14) 1, 2, 7, 14
15) 1, 3, 5, 15
16) 1, 2, 4, 8, 16
17) 1, 17
18) 1, 2, 3, 6, 9, 18
19) 1, 19
20) 1, 2, 4, 5, 10, 20
...

Fixem-nos en uns quants aspectes interessants:

Per exemple, la porta 3) primer està tancada, passa el 1r cambrer, l'obra i després el 3r la tanca. Per tant, podem arribar a la següent conclusió: "Totes les portes en les que hi passi un nombre parell de cambrers estaran tancades."
En el cas de la 3) porta hi passen 2 cambrers, el 1r i el 3r.

Si apliquem la norma anterior a les vint portes ja estudiades, deduïm que les portes 2), 3), 5), 6), 7), 8), 10), 11), 12), 13), 14), 15), 17), 18), 19) i 20) estaran tancades. Les úniques que quedaran obertes seran la 1), la 4), la 9) i la 16). Precisament, aquests nombres tenen un nombre de divisors imparells, que és el mateix que dir que són quadrats perfectes (nombres resultats de multiplicar un nombre per ell mateix 1·1=1), 2·2=4), 3·3=9), 4·4=16)...).

Solució: Quedaran obertes totes les portes que tenen un nombre imparell de divisors, o el que és el mateix, totes les que tinguin un quadrat perfecte. I si ho volguéssim completar millor, serien les portes:

1), 4), 9), 16), 25), 36), 49), 64), 81), 100), 121), 144), 169), 196), 225), 256), 289), 324), 361), 400), 441), 484), 529), 576), 625), 676), 729), 784), 841), 900),961), 1024), 1089), 1156), 1225), 1296), 1369), 1444), 1521), 1600), 1681), 1764), 1849), 1936), 2025), 2116), 2209), 2304), 2401), 2500), 2601), 2704), 2809), 2916), 3025), 3136), 3249), 3364), 3481), 3600), 3721), 3844), 3969), 4096), 4225), 4356), 4489), 4624), 4761) i 4900).

Atentament,

CER